Question

设动圆P过点A（-1，0），且与圆B：x²+y²-2x-7=0相切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹Ω的方程；
（Ⅱ）设点Q（m，n）在曲线Ω上，求证：直线l：mx+2ny=2与曲线Ω有唯一的公共点；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中的直线l与圆B交于点E，F，求证：满足的点R必在圆B上．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵点A在圆B内，
∴动圆P与圆B（x-1）²+y²=8内切，
∵圆B的圆心是B（1，0），半径，
∴，
即PA+PB=，
由椭圆定义知动圆圆心P的轨迹Ω的方程为．
（Ⅱ）由点Q（m，n）在曲线Ω上可知：，即m²+2n²=2．
又联立直线l与曲线Ω的方程，
得（2m²+4n²）x²-8mx+8-8n²=0，
即x²-2mx+m²=0，
∵x²-2mx+m²=0的两实根相等，
∴直线l与曲线Ω有唯一的公共点．
（Ⅲ）设点E，F的坐标分别为E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则由题意知x₁，x₂是由直线l与圆B所得的方程组
所得方程（m²+4n²）x²-4（m+2n²）x+4-28n²=0的两个不同的实根，
∴，
∵mx₁+2ny₁=2，mx₂+2ny₂=2，
∴==．
∴
=
=
=8，
∴，
故点R在圆B上．
分析：（Ⅰ）由点A在圆B内，知动圆P与圆B（x-1）²+y²=8内切，由圆B的圆心是B（1，0），半径，知，由此能求出动圆圆心P的轨迹Ω的方程．
（Ⅱ）由点Q（m，n）在曲线Ω上可知：m²+2n²=2．联立直线l与曲线Ω的方程，得x²-2mx+m²=0，由此能导出直线l与曲线Ω有唯一的公共点．
（Ⅲ）设点E，F的坐标分别为E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由题意知x₁，x₂是由直线l与圆B所得的方程组整理出的方程（m²+4n²）x²-4（m+2n²）x+4-28n²=0的两个不同的实根，再由韦达定理求得，故点R在圆B上．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．