Question

13．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

x	$\frac{2π}{3}$	x1	$\frac{8π}{3}$	x2	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

（Ⅰ）求x₁，x₂，x₃的值及函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，若直线y=k与函数y=f（x）g（x）的图象在[0，π]上有交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{2π}{3}ω+$φ=0，$\frac{8π}{3}ω$+φ=0，可解得ω，φ的值，由$\frac{1}{2}{x}_{1}-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}{x}_{2}-\frac{π}{3}=\frac{3π}{2}$，$\frac{1}{2}{x}_{3}-\frac{π}{3}=2π$，可求x₁，x₂，x₃的值，又由Asin（$\frac{1}{2}×\frac{5π}{3}-\frac{π}{3}$）=2，可求A的值，即可求得函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=2cos（$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}$），y=f（x）g（x）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$），结合范围x∈[0，π]时，可得x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）由$\frac{2π}{3}ω+$φ=0，$\frac{8π}{3}ω$+φ=0，可得$ω=\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{3}$，
由$\frac{1}{2}{x}_{1}-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}{x}_{2}-\frac{π}{3}=\frac{3π}{2}$，$\frac{1}{2}{x}_{3}-\frac{π}{3}=2π$，
可得：x₁=$\frac{5π}{3}$，${x}_{2}=\frac{11π}{3}$，${x}_{3}=\frac{14π}{3}$，
又因为Asin（$\frac{1}{2}×\frac{5π}{3}-\frac{π}{3}$）=2，所以A=2．
所以f（x）=2sin（$\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}$）…6分
（Ⅱ）由f（x）=2sin（$\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}$）的图象向左平移π个单位，
得g（x）=2sin（$\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}+\frac{π}{2}$）=2cos（$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}$）的图象，
所以y=f（x）g（x）=2×2sin（$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}$）•cos（$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}$）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$）．
因为x∈[0，π]时，x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
所以实数k的取值范围为：[-2，$\sqrt{3}$]…10分

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．