Question

如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：PC⊥AC；
（2）求二面角M-AC-B的余弦值；
（3）求点B到平面MAC的距离．

Answer 1

分析：方法1：（1）通过证明PC⊥平面ABC，然后证明PC⊥AC．
（2）取BC的中点N，连MN，证明MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M-AC-B的平面角．利用cos∠MHN=

NH

MH

=

21

7

．求出二面角M-AC-B的余弦值．
（3）先证明NE⊥平面MAC，通过解三角形求出点N到平面MAC的距离，利用点N是线段BC的中点，推出点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍．
方法2：（1）同方法一；
（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．
设P（0，0，z），求出有关点的坐标，利用

n • AM =0 n • CA =0

，求出设平面MAC的一个法向量为

n

，求出平面ABC的一个法向量为

CP

=(0，0，1)．利用cos＜

n

，

CP

＞=

n • CP

| n |• |CP|

．得到二面角M-AC-B的余弦值．
（3）利用点B到平面MAC的距离d=|

CB • n

| n |

|．

解答：解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）
（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．
由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M-AC-B的平面角．
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．

在△ACN中，AN=

AC2+CN2-2AC•CN•cos120°

=

3

．
在Rt△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=

3

cot60°=1．
在Rt△NCH中，NH=CN•sin∠NCH=1×sin60°=

3

2

．
在Rt△MNH中，∵MH=

MN2+NH2

=

7

2

，∴cos∠MHN=

NH

MH

=

21

7

．
故二面角M-AC-B的余弦值为

21

7

．（8分）
（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，
∴点N到平面MAC的距离为NE=

MN•NH

MH

=

21

7

．
∵点N是线段BC的中点，
∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为

2 21

7

．（12分）
方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．
设P（0，0，z），则

CP

=(0，0，z)．

AM

=(0，1，z)-(

3

2

，-

1

2

，0)=(-

3

2

，

3

2

，z)．
∵cos60°=|cos＜

AM

，

CP

＞|=|

AM • CP

| AM |•| CP |

|=

z2

3+z2 •|z|

，
且z＞0，∴

z

z2+3

=

1

2

，得z=1，∴

AM

=(-

3

2

，

3

2

，1)．
设平面MAC的一个法向量为

n

=（x，y，1），则由

n • AM =0 n • CA =0

得

- 3 2 x+ 3 2 y+1=0 3 2 x- 1 2 y=0

得

x=- 3 3 y=-1

∴

n

=(-

3

3

，-1，1)．
平面ABC的一个法向量为

CP

=(0，0，1)．cos＜

n

，

CP

＞=

n • CP

| n |• |CP|

=

21

7

．
显然，二面角M-AC-B为锐二面角，∴二面角M-AC-B的余弦值为

21

7

．（8分）
（3）点B到平面MAC的距离d=|

CB • n

| n |

|=

2 21

7

．（12分）

点评：本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用，二面角的求法，点到平面的距离的求法，几何法与向量法的区别与联系，考查空间想象能力与计算能力．