Question

16．已知M是由所有满足下述条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实数根；②设函数f（x）的导函数f′（x），且对f（x）定义域内任意的x，都有f′（x）＞1．
（Ⅰ）判断函数f（x）=2x+sinx是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）若函数g（x）=lnx+ax是集合M中的元素，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到当cosx=-1时，f′（x）=1，不符合条件②，从而得出结论；
（Ⅱ）先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，结合新定义从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2+cosx，当cosx=-1时，f′（x）=1，不符合条件②，
∴函数f（x）不是集合M中的元素；
（Ⅱ）∵g（x）是集合M中的元素，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+a＞1对于任意x＞0均成立，
即a＞1-$\frac{1}{x}$（x＞0）恒成立，即a≥1，
令G（x）=g（x）-x=lnx+（a-1）x，
依题意g（x）是集合M中的元素，必满足a≥1，
当a≥1时，G′（x）=$\frac{1}{x}$+a-1＞0对任意x＞0恒成立，
∴G（x）在（0，+∞）递增，
又G（e^-a）=lne^-a+a•e^-a-e^-a=a（e^-a-1）-e^-a＜0，
G（e）=1+（a-1）e＞0，
∴方程G（x）=g（x）-x=0有实根，也符合条件①，
当a＜1时，在x＞$\frac{1}{1-a}$＞0时，g′（x）=$\frac{1}{x}$+a＜1与条件②矛盾，
综上，a≥1．

点评 本题考查了新定义问题，考查导数的应用、函数的单调性，是一道中档题．