【题目】已知数列的前
项和为
,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前
项和为
,证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由时,利用
,结合等差数列的定义和通项公式即可得到数列
的通项公式;(2)由(1)得
,运用裂项相消法求和,化简整理,然后利用放缩法可证明
.
试题解析:(1)当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-=2n+1.
当n=1时,也符合上式,故an=2n+1.
(2)因为=
=
,
故Tn=
=
【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2)
; (3)
;(4)
;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
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【题目】已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S3=a4+4,且a2,a6,a18成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】把函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍,再向左平移
,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的一个单调递减区间为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在直角坐标系xOy中,已知点P( ,1),直线l的参数方程为
(t为参数)若以O为极点,以Ox为极轴,选择相同的单位长度建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ=
cos(θ-
)
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求点P到A,B两点的距离之积.
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【题目】已知函数f(x)=xe2x﹣lnx﹣ax.
(1)当a=0时,求函数f(x)在[ ,1]上的最小值;
(2)若x>0,不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范围;
(3)若x>0,不等式f( )﹣1≥
e
+
恒成立,求a的取值范围.
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【题目】把函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍,再向左平移
,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的一个单调递减区间为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形,E,F分别是A1C1 , B1C1上的点,且满足A1E=EC1 , B1F=3FC1 .
(1)求证:平面AEF⊥平面BB1C1C;
(2)设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均相等,求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=ex+ax,(a∈R),其图象与x轴交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)两点,且x1<x2
(1)求a的取值范围;
(2)证明: ;(f′(x)为f(x)的导函数)
(3)设点C在函数f(x)的图象上,且△ABC为等边三角形,记 ,求(t﹣1)(a+
)的值.
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