Question

11．对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．
例如：考察恒等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ（n∈N^*），左边xⁿ的系数为C_2nⁿ，而右边（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ=（C_n⁰+C_n¹x+…+C_nⁿxⁿ）（C_n⁰+C_n¹x+…+C_nⁿxⁿ），xⁿ的系数为C_n⁰C_nⁿ+C_n¹C_n^n-1+…+C_nⁿC_n⁰=（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²，因此可得到组合恒等式C_2nⁿ=（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²．
（1）根据恒等式（1+x）^m+n=（1+x）^m（1+x）ⁿ（m，n∈N^*）两边x^k（其中k∈N，k≤m，k≤n）的系数相同，直接写出一个恒等式；
（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：$\sum_{k=0}^{[{\frac{n}{2}}]}{C_n^{2k}}•{2^{n-2k}}•C_{2k}$^k=C_2nⁿ，其中$[{\frac{n}{2}}]$是指不超过$\frac{n}{2}$的最大整数．

Answer 1

分析 （1）利用二项式定理系数的性质，求出xⁿ的系数，即可得到结论．
（2）利用已知关系式，求出等式两边的常数项系数，即可得到结果．

解答 解：（1）${C}_{m+n}^{k}$=${{C}_{m}^{0}C}_{n}^{k}$+${{C}_{m}^{1}C}_{n}^{k-1}$+…+${{C}_{m}^{k}C}_{n}^{0}$=${C}_{m+m}^{k}$．
证明：（2）考察等式（2+x+$\frac{1}{x}$）ⁿ=$\frac{（x+1）^{2n}}{{x}^{n}}$，
等式右边的常数项为：$\frac{{C}_{2n}^{n}{x}^{n}}{{x}^{n}}{=C}_{2n}^{n}$，
∵$（2+x+\frac{1}{x}）^{n}={\sum_{i=0}^{n}C}_{n}^{r}$•2^n-r（x+$\frac{1}{x}$）^r=${\sum_{i=0}^{n}C}_{n}^{r}$•2^n-r（${\sum_{i=0}^{r}C}_{i}^{k}$$•{x}^{i-k}（\frac{1}{x}）^{k}）$，
当且仅当i=2k时，x^r-k（$\frac{1}{x}$）^k为常数，
等式左边的常数项为：$\sum_{k=0}^{[{\frac{n}{2}}]}{C_n^{2k}}•{2^{n-2k}}•C_{2k}$^k，
∴$\sum_{k=0}^{[{\frac{n}{2}}]}{C_n^{2k}}•{2^{n-2k}}•C_{2k}$^k=C_nⁿ成立．

点评 本题主要考查二项式定理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．