Question

已知函数f（x）=|x-3|-|x-a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤-

1

2

；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当x≤2时，当2＜x＜3时，化简不等式解得，最后求并集即可；
（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=|x-3|-|x-2|，
当x≥3时，f（x）≤-

1

2

，即为（x-3）-（x-2）≤-

1

2

，即-1≤-

1

2

成立，则有x≥3；
当x≤2时，f（x）≤-

1

2

即为（3-x）-（2-x）≤-

1

2

，即1≤-

1

2

，解得x∈∅；
当2＜x＜3时，f（x）≤-

1

2

即为3-x-（x-2）≤-

1

2

，解得，x≥

11

4

，则有

11

4

≤x＜3．
则原不等式的解集为[

11

4

，3）∪[3，+∞）即为[

11

4

，+∞）；
（2）由绝对值不等式的性质可得||x-3|-|x-a||≤|（x-3）-（x-a）|=|a-3|，
即有f（x）的最大值为|a-3|．
若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，则有|a-3|≥a，
即

a≥3 a-3≥a

或

a＜3 3-a≥a

，即有a≥3或a≤

3

2

．
则a的取值范围是（-∞，

3

2

]∪[3，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，故取|a-3|≥a，即小于等于左边的最大值即满足题意，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误．