Question

18．数列{a_n}中，a_n=n•2ⁿ，求S_n．

Answer 1

分析 方法一、运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简计算即可得到．
方法二、运用裂项相消求和，由n•2ⁿ=（n-1）•2ⁿ⁺¹-（n-2）•2ⁿ，即可得到．

解答 解法一：S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$--n•2ⁿ⁺¹
化简可得S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．
解法二、由a_n=n•2ⁿ=（n-1）•2ⁿ⁺¹-（n-2）•2ⁿ，
可得S_n=[0-（-1）•2]+[1•8-0]+[2•2⁴-1•8]+…
+[（n-2）•2ⁿ-（n-3）•2^n-1]+[（n-1）•2ⁿ⁺¹-（n-2）•2ⁿ]
=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的求和方法：错位相减法和裂项相消，同时考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．