Question

在如图所示的几何体中,四边形ACC₁A₁是矩形,FC₁∥BC,EF∥A₁C₁,∠BCC₁=90°,点A,B,E,A₁在一个平面内,AB=BC=CC₁=2,AC=2.

证明:(1)A₁E∥AB.
(2)平面CC₁FB⊥平面AA₁EB.

Answer 1

见解析

【证明】(1)∵四边形ACC₁A₁是矩形,
∴A₁C₁∥AC.又AC?平面ABC,A₁C₁?平面ABC,
∴A₁C₁∥平面ABC.
∵FC₁∥BC,BC?平面ABC,∴FC₁∥平面ABC.
又∵A₁C₁,FC₁?平面A₁EFC₁,
∴平面A₁EFC₁∥平面ABC.
又∵平面ABEA₁与平面A₁EFC₁、平面ABC的交线分别是A₁E,AB,∴A₁E∥AB.
(2)∵四边形ACC₁A₁是矩形,∴AA₁∥CC₁.
∵∠BCC₁=90°,即CC₁⊥BC,∴AA₁⊥BC.
又∵AB=BC=2,AC=2,∴AB²+BC²=AC².
∴∠ABC=90°,即BC⊥AB.
∵AB,AA₁?平面AA₁EB,且AB∩AA₁=A,
∴BC⊥平面AA₁EB.
而BC?平面CC₁FB,
∴平面CC₁FB⊥平面AA₁EB.