Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线3x﹣y+ =0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D、E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）设M、P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为点O到直线3x﹣y+ =0的距离为

d= = ，

所以圆O的半径为r= =2；

故圆O的方程为x2+y2=4

（2）解：设直线l的方程为 =1（a＞0，b＞0），

即bx+ay﹣ab=0；

由已知 =2，

即 = ；

所以DE2=a2+b2

=4（a2+b2）（ ）

=4（2+ + ）≥16；

当且仅当a=b=2 时取等号，

此时直线l的方程为x+y﹣2 =0

（3）解：设点M（x1，y1），P（x2，y2），

则N（x1，﹣y1），且 + =4 + =4，

直线MP与x轴交点为（ ，0），

则m= ；

直线NP与x轴交点为（ ，0），

则n= ．

所以mn=

=

= =4，

故mn为定值4

【解析】（1）由点O到直线3x﹣y+ =0的距离d，求出圆O的半径r，写出圆O的方程；（2）写出直线l的方程，由d=r以及基本不等式求出DE2取最小值时对应的方程；（3）设出点M、P，根据对称性写出点N，利用圆的方程表示出直线MP、NP与x轴的交点坐标，得出m、n的值，计算mn即可．