Question

1．已知x₁，x₂，x₃，x₄为实数，且x₁+x₂+x₃+x₄=6，x₁²+x₂²+x₃²+x₄²=12，求证：0≤x_i≤3，i=1，2，3，4．

Answer 1

分析 由柯西不等式得到（x₂+x₃+x₄）²≤（1+1+1）（x₂²+x₃²+x₄²），把已知变形得到x₂+x₃+x₄=6-x₁，x₂²+x₃²+x₄²=12-x₁²，代入上式后化为关于x₁的不等式可求x₁的范围，同理证明i=2，3，4时0≤x_i≤3成立．

解答 证明：由柯西不等式，得 （x₂+x₃+x₄）²≤（1+1+1）（x₂²+x₃²+x₄²），
又∵x₂+x₃+x₄=6-x₁，x₂²+x₃²+x₄²=12-x₁²，
代入上式得（6-x₁）²≤3（12-x₁²），
于是36-12x₁+x₁²≤36-3x₁²，
于是4x₁²-12x₁≤0，
从而x₁（x₁-3）≤0．
故0≤x₁≤3．
同理可证0≤x_i≤3，i=2，3，4．
故0≤x_i≤3，i=1，2，3，4．

点评 本题考查不等式的证明，训练了柯西不等式的应用，属中高档题．