Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x2 ．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，若f（x）的值域为[3m2+2m﹣1，3n2+2n﹣1]，求实数m，n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当x＞0时，f（x）=x3+x2，

故当x＜0时，则﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）2=﹣x3+x2，

由于f（x）是奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x2，

又f（0）=0，

故当x∈R时，

（2）解：∵当x＞0时，f（x）=x3+x2，

∴f'（x）=3x2+2x＞0，

∴f（x）在[m，n]上单调递增，

∴ ∴ ，

∴m，n为x3﹣2x2﹣2x+1=0的两个正实数根，

∵x3﹣2x2﹣2x+1=（x+1）（x2﹣3x+1），

∴m，n为x2﹣3x+1=0的两个正实数根，

又由题意可知：0＜m＜n，

∴ ，

【解析】（1）设x<0，则-x>0,代入解析式f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）2=﹣x3+x2，根据奇函数f（-x）=-f（x），从而得到f（x）的解析式，（2）假设存在满足条件的m，n，则m，n必为方程x3﹣2x2﹣2x+1=0的两个正实数根，即可求出结果.
【考点精析】掌握函数的值域是解答本题的根本，需要知道求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．