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    已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(
    x1+x2
    2
    )≤
    f(x1)+f(x2)
    2
    ．
    （Ⅰ）求实数a的取值范围；
    （Ⅱ）（理）对于给定的非零实数a，求最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立；
    （Ⅲ）（理）在（Ⅱ）的条件下，当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．
    （Ⅱ）（文）求最小的实数b，使得x∈[b，1]时，f（x）≥-2都成立；
    （Ⅲ）（文）若存在实数a，使得x∈[b，1]时，-2≤f（x）≤3b都成立，求实数b的取值范围．
    分析：（I）由已知中函数f（x）=ax2+4x-2，我们求出f(
    x1+x2
    2
    )-
    f(x1)+f(x2)
    2
    的解析式，并根据f(
    x1+x2
    2
    )≤
    f(x1)+f(x2)
    2
    判断其符号，即可得到实数a的取值范围；
    （Ⅱ）（理）由已知中函数f（x）=ax2+4x-2的解析式，结合（I）的结论，我们可得对称轴x=-
    2
    a
    ＜0    ，我们分-2-
    4
    a
    ＜-4    和-2-
    4
    a
    ≥-4    ，两种情况进行分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．
    （III）（理）由（2）知，当0＜a＜2，M(a)=
    -2
    		4-2a
    +2
    ． 当a≥2，M(a)=
    -6
    		4+6a
    -2
    ≥-3    ．  我们根据分段函数分段处理的原则，分别求出各段上函数的最小值，即可得到，M（a）的最小值-3．
    （II）（文）由已知中当x∈[b，1]时，f（x）≥-2都成立，结合f（0）=-2，易得b≥0，进而得到b的最小值；
    （Ⅲ）（文）由（Ⅱ）中的结论可知b≥0，进而可以判断出函数f（x）在区间[b，1]上为增函数，进而根据x∈[b，1]时，-2≤f（x）≤3b都成立，构造关于b的不等式，解不等式，即可得到实数b的取值范围．
    解答：解：（Ⅰ）∵f(
    x1+x2
    2
    )-
    f(x1)+f(x2)
    2

    =a(
    x1+x2
    2
    )2+b(
    x1+x2
    2
    )+c-
    ax12+bx1+c+ax22+bx2+c
    2

    =-
    a
    4
    (x1-x2)2≤0    ，
    ∵x1≠x2，
    ∴a≥0．
    ∴实数a的取值范围为[0，+∞）．
    （Ⅱ）（理）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+
    2
    a
    )2-2-
    4
    a
    ，
    显然f（0）=-2，对称轴x=-
    2
    a
    ＜0    ．
    （1）当-2-
    4
    a
    ＜-4    ，即0＜a＜2时，M(a)∈(-
    2
    a
    ，0)    ，且f[M（a）]=-4．
    令ax2+4x-2=-4，解得x=
    -2±
    		4-2a
    a
    ，
    此时M（a）取较大的根，即M(a)=
    -2+
    		4-2a
    a
    =
    -2
    		4-2a
    +2
    ，
    （2）当-2-
    4
    a
    ≥-4    ，即a≥2时，M(a)＜-
    2
    a
    ，且f[M（a）]=4．
    令ax2+4x-2=4，解得x=
    -2±
    		4+6a
    a
    ，
    此时M（a）取较小的根，即M(a)=
    -2-
    		4+6a
    a
    =
    -6
    		4+6a
    +2
    ，
    （Ⅲ）（理） 由（2）知，
    当0＜a＜2，M(a)=
    -2
    		4-2a
    +2
    ． 此时 M（a）＞-1
    当a≥2，M(a)=
    -6
    		4+6a
    -2
    ≥-3    ．  此时 M（a）≥-3（当且仅当a=2时，取等号）
    ∵-3＜-1，
    ∴当a=2时，M（a）取得最小值-3．
    （Ⅱ）（文）∵f（0）=-2
    由x∈[b，1]时，f（x）≥-2都成立
    ∴b≥0
    ∴b的最小值为0
    （Ⅲ）（文）由（Ⅱ）知  b≥0
    ∴f（x）在[b，1]上为增函数，
    ∴f（1）≤3b
    即：a+4-2≤3b
    又 由（Ⅰ）a≥0⇒3b≥a+2≥2⇒b≥
    2
    3

    ∴
    2
    3
    ≤b＜1
    点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，一元二次方程的根的分布与系数的关系，分段函数的最小值，函数恒成立问题，其中（I）的关键是根据实数的性质，判断出实数a的取值范围，理科（II）的关键是根据函数f（x）=ax2+4x-2的对称轴x=-
    2
    a
    ＜0    ，确定分类标准，（III）的关键是根据分段函数分段处理的原则，得到分段函数的最值，而文科（II）（III）的关键是根据已知条件构造关于b的不等式．
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    1
    2
     ， 2])
    （1）当a∈[-2，
    1
    4
    )    时，求f（x）的最大值；
    （2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    ．

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