Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，…），a₁=1.
（1）设b_n=a_n+1-2a_n(n=1,2,…)，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设c_n=(n=1,2,…),求证：数列{c_n}是等差数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式.

Answer 1

（1）证明略（2）证明略（3）{a_n}的前n项和公式为S_n=（3n-4）·2^n-1+2

（1）证明 ∵S_n+1=4a_n+2，
∴S_n+2=4a_n+1+2，两式相减，得
S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n(n=1,2,…),
即a_n+2=4a_n+1-4a_n,
变形得a_n+2-2a_n+1=2(a_n+1-2a_n)
∵b_n=a_n+1-2a_n(n=1,2,…),∴b_n+1=2b_n.
由此可知，数列{b_n}是公比为2的等比数列.
（2）证明 由S₂=a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1.
得a₂=5,b₁=a₂-2a₁=3.故b_n=3·2^n-1.
∵c_n=(n=1,2,…),
∴c_n+1-c_n=-==.
将b_n=3·2^n-1代入得
c_n+1-c_n=(n=1,2,…),
由此可知，数列{c_n}是公差为的等差数列，
它的首项c₁==，故c_n=n-(n=1,2,…).
（3）解 ∵c_n=n-=(3n-1).
∴a_n=2ⁿ·c_n=(3n-1)·2^n-2 (n=1,2,…)
当n≥2时，S_n=4a_n-1+2=(3n-4)·2^n-1+2.
由于S₁=a₁=1也适合于此公式，
所以{a_n}的前n项和公式为S_n=（3n-4）·2^n-1+2.