Question

（2012•湖北模拟）某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：[0，30），[30，60），[60，90），[90，120），[120，150），[150，180），[180，210），[210.240），得到频率分布直方图如图，已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人．
（1）求n的值并求有效学习时间在[90，120）内的频率；
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，下列2×2列联表，问：是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？

	利用时间充分	利用时间不充分	合计
走读生	50	a	75
住校生	b	15	25
合计	60	40	n

（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望．
参考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考列表：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

分析：（1）设第i组的频率为P_i（i=1，2，…，8），则由图可知：学习时间少于60钟的频率为：P₁+P₂=，由此能够求出n的值并求出有效学习时间在[90，120）内的频率．
（2）求出K²，比较K²与3.841的大小，能够判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．
（3）由题设条X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，能够得到X的分布列和期望．

解答：解：（1）设第i组的频率为P_i（i=1，2，…，8），
则由图可知：P₁=

1

3000

×30=

1

100

，P₂=

1

750

×30=

4

100

，
∴学习时间少于60钟的频率为：P₁+P₂=

5

100

，
由题n×

5

100

=5，∴n=100，…（2分）
又P₃=

1

300

×30=

10

100

，P₅=

1

100

×30=

30

100

，
P₆=

1

200

×30=

15

100

，P₇=

1

300

×30=

10

100

，
P₈=

1

600

×30=

5

100

，
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）
∴P4=1-(

1

100

+

4

100

+

10

100

+

30

100

+

15

100

+

10

100

+

5

100

)=

1

4

∴有效学习时间在[90，120）内的频率为

1

4

．（4分）
（2）抽取的100人中，走读生有750×

1

10

=75人，住读生25人，∴a=25，b=10（6分）
由于K²=

100(50×15-25×10)2

75×25×40×60

＞3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．（8分）
（3）由题意知：第①组1人，第②组4人，第⑦组10人，第⑧组5人，共20人
∴P（X=i）=

C i 5 C 3-i 15

C 3 20

，（i=0，1，2，3），
∴P（X=0）=

C 0 5 C 3 15

C 3 20

=

91

228

，
P（X=1）=

C 1 5 C 2 15

C 3 20

=

35

76

，
P（X=2）=

C 2 5 C 1 15

C 3 20

=

5

38

，
P（X=3）=

C 3 5 C 0 15

C 3 20

=

1

114

，（10分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	91 228	35 76	5 38	1 114

EX=0×

91

228

+1×

35

76

+2×

5

38

+3×

1

114

=

3

4

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．