Question

函数f（x）对任意实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）
（1）证明f（x）为奇函数；    
（2）若f（x）是R上的增函数且f（1）=1，解不等式f[log2(x2-x-2)]＜2．

Answer 1

分析：（1）定义法：令m=n=0可得f（0）=0，令m=x，n=-x可得f（x）+f（-x）=0，由奇函数定义可证明；
（2）2=f（1）+f（1）=f（2），则不等式可化为f[log2(x2-x-2)]＜f（2），利用函数的单调性可去掉符号“f”，解此对数不等式即可；

解答：（1）证明：令m=n=0，则f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
令m=x，n=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（0）=f（x）+f（-x），
所以f（-x）=-f（x），
故f（x）为奇函数；
（2）解：因为f（1）=1，所以2=f（1）+f（1）=f（2），
则f[log2(x2-x-2)]＜2，即f[log2(x2-x-2)]＜f（2），
又f（x）在R上递增，所以log2(x2-x-2)＜2，
所以0＜x²-x-2＜4，解得-2＜x＜-1或2＜x＜3，
所以不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．

点评：本题考查抽象函数的奇偶性、抽象不等式及对数不等式的求解，考察学生灵活运用知识解决问题的能力．