Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx．
（1）当a=b=

1

2

时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若b=2且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（3）当a≠0时，设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M，N，则是否存在点R，使C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行？如果存在，请求出R的横坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将a、b的值代入，可得h(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x，求出其导数，再在区间（0，+∞）上讨论导数的正负，可以得出函数h（x）单调区间；
（2）先求函数h（x）的解析式，因为函数h（x）存在单调递减区间，所以不等式h'（x）＜0有解，通过讨论a的正负，得出h′（x）＜0有解，即可得出a的取值范围；
（3）首先设点P、Q的坐标是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂，然后通过导数公式以及导数的几何意义，分别求出曲线C₁在点M处的切线斜率k₁和曲线C₂在点N处的切线斜率k₂，因为两条切线平行，所以k₁=k₂，解关于x₁，x₂，a，b的方程，整理成ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

，再令t=

x2

x1

，转化为关于t的函数讨论问题，根据其单调性得出lnt＞

2(t-1)

1+t

．这与①矛盾，因此假设不成立．可得C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

解答：解：（1）当a=b=

1

2

时，h(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x
则h′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=-

x2+x-2

2x

=-

(x+2)(x-1)

2x

，
∵h（x）的定义域为（0，+∞），令h'（x）=0，得x=1
∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上是单调递增；
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上是单调递减；
所以，函数h（x）=f（x）-g（x）的单调递增区间为（0，1）；单调递减区间为（1，+∞）．
（2）b=2时，h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x
则h′(x)=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

因为函数h（x）存在单调递减区间，
所以h′（x）＜0有解．
即当x＞0时，则ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
①当a=0时，y=2x-1为单调递增的一次函数，y=2x-1＞0在（0，+∞）总有解．
②当a＞0时，y=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）总有解．
③当a＜0时，y=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，而y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）总有解，
则△=4+4a＞0，且方程y=ax²+2x-1=0至少有一个正根，
此时，-1＜a＜0
综上所述，a的取值范围为（-1，+∞）
（3）证：设点P、Q的坐标是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂
则点M，N的横坐标为x=

x1+x2

2

C₁点在M处的切线斜率为k1=

1

x

|x=

x1+x2

2

=

2

x1+x2

，
C₂点N处的切线斜率为k2=ax+b|x=

x1+x2

2

=

a(x1+x2)

2

+b
假设C₁点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂
即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，则

2(x2-x1)

x1+x2

=

a

2

(

x

2 2

-

x

2 1

)+b(x2-x1)=

a

2

(

x

2 2

+bx2)-(

a

2

x

2 1

+bx1)=y2-y1=lnx2-lnx1
∴ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

．
设t=

x2

x1

，则lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1①
令F(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．则F′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

因为t＞1时，F'（t）＞0，
所以F（t）在[1，+∞）上单调递增．
故F（t）＞F（1）=0
则lnt＞

2(t-1)

1+t

．这与①矛盾，假设不成立．
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义，函数与方程的讨论等，属于难题．