Question

7．已知约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+4≥0}\\{x+2y-1≥0}\\{3x+y-8≤0}\end{array}\right.$，且目标函数z=a²x+（a-2-a²）y取得最小值的最优解唯一，为（2，2），则a的取值范围是（$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}，\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$）．

Answer 1

分析 作出约束条件所表示的平面区域，根据图形特征确定最小值在何处取得，从而求出a的取值范围．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+4≥0}\\{x+2y-1≥0}\\{3x+y-8≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

由于目标函数中的y的系数$a-2-{a}^{2}=-（a-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{7}{4}＜0$，x的系数a²≥0，
故平行直线系z=a²x+（a-2-a²）y的斜率非负为$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-a+2}$，
由于是最小值问题且最优解唯一，且图中点A（2，2），
从而$0≤\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-a+2}＜\frac{1}{3}$．
解得：$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}＜a＜\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$．
∴a的取值范围是（$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}，\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$）．
故答案为：（$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}，\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$）．

点评 本题考查简单的线性规划，最优解只有一个，则意味着目标函数所对应直线的斜率介于两条直线的斜率之间，此时解相应的不等式即可获解，此题是中档题．