Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n（n∈N*），a₁=1且
（1）求数列{a_n}的通项公式；．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1且
即（n≥2）
2S_n•S_n-1=S_n-1-S_n两边同除以S_n•S_n-1得
2=-∴数列{}是以1为首项，以2为公差的等差数列．
∴=1+2（n-1）=2n-1
∴S_n=，
当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1==
∴a_n=
（2）
用数学归纳法证明：
当n=1时，=，不等式成立． ①
假设当n=k（k≥2）时成立，即有
那么当n=k+1时=
下证＞成立．
只需证
两边平方即为 ，两边减去1得
即证8（k+1）²＞4k²+4k+1，
即4k²+12k+7＞0，显然成立②
由①②可知，原不等式对任意正整数n都成立．
分析：（1）将转化为 2S_n•S_n-1=S_n-1-S_n两边同除以S_n•S_n-1得2=-构造数列{}是以1为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，再据Sn与an的关系求数列{a_n}的通项公式
（2），不等式左端无法进一步整理化简，又是与自然数有关，考虑用数学归纳法证明．
点评：本题考查通项公式求解、不等式的证明，用到的知识和方法有，Sn与an的关系，数学归纳法，考查分析解决问题、转化、计算等能力．