Question

【题目】如图，三棱锥中，是等边三角形，是线段的中点，是线段上靠近的四等分点，平面平面.

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点为，连接，由是等边三角形，可得，，结合平面平面，易证平面，从而可证明结论；

（2）连接，易知，，两两垂直，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后分别求出平面、的法向量，设二面角为，则，可求出答案.

（1）如图，取的中点为，连接.

因为是等边三角形，所以.

由题意知，从而.

因为平面平面，平面平面，，

所以平面.

又平面，所以.

（2）如图，连接.

因为，所以.

又平面平面，平面平面，，

所以平面.所以，，两两垂直.

分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，为等边三角形，

所以，所以，，，

从而，.

设平面的法向量.

由，得，即.可取.

取平面的一个法向量.

设二面角为，则.

由题意可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.