Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D为AC的中点，A₁D⊥平面ABC，A₁B⊥AC_l
（I）求证：AC₁⊥A_lC； 
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）要证AC₁⊥A_lC，可证AC₁⊥平面A₁BC，只证AC₁⊥A₁B（已知），AC₁⊥BC，由A₁D⊥平面ABC及∠ACB=90°可证BC⊥平面AA₁C₁C，从而问题得证；
（Ⅱ）取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC，由题意可分别以DE，DC，DA₁为x，y，z轴建立空间坐标系Dxyz，由（I）可知

AC1

是平面A₁BC的一个法向量，设

m

=(x，y，z)是平面A₁AB的一个法向量，由法向量定义可求得

m

，从而二面角A-A₁B-C的余弦值可转化为两法向量的夹角余弦值解决，注意二面角的范围；

解答：证明：（I）∵A₁D⊥平面ABC，∴平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面AA₁C₁C，∴BC⊥AC₁，
又A₁B⊥AC₁，∴AC₁⊥平面A₁BC，
∴AC₁⊥A₁C；
解：（Ⅱ）取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC，
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC，
又A₁D⊥平面ABC，∴A₁D⊥AC，A₁D⊥DE，
分别以DE，DC，DA₁为x，y，z轴建立空间坐标系Dxyz，
由题意得A（0，-1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），
由（I）得A₁C⊥AC₁，则A1(0，0，

3

)，C1(0，2，

3

)，
∴

AC1

=（0，3，

3

），

AB

=（2，2，0），

AA1

=（0，1，

3

），
由（I）可知，

AC1

=(0，3，

3

)是平面A₁BC的一个法向量，
设

m

=(x，y，z)是平面A₁AB的一个法向量，
则

m • AB =2x+2y=0 m • AA1 =y+ 3 z=0

，
令z=1，则

m

=(

3

，-

3

，1)，
所以cos＜

m

，

AC1

＞=

m • AC1

| m || AC1 |

=-

7

7

，
所以二面角A-A₁B-C的余弦值为

7

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质、用空间向量求空间角，考查转化思想，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力．