Question

18．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=AB=2BC=2，则异面直线AC与BD₁所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 几何法：
连结AC，BD，交于点O，取DD₁中点E，连结OE，AE，则∠EOA是异面直线AC与BD₁所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AC与BD₁所成角的余弦值．
向量法：
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BD₁所成角的余弦值．

解答 解：（几何法）
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
连结AC，BD，交于点O，取DD₁中点E，连结OE，AE，
∵A₁A=AB=2BC=2，ABCD是矩形，
∴O是BD中点，∴EO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD₁=$\frac{3}{2}$，
∴∠EOA是异面直线AC与BD₁所成角（或所成角的补角），
又AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴cos∠EOA=$\frac{E{O}^{2}+A{O}^{2}-A{E}^{2}}{2•EO•OA}$=$\frac{\frac{9}{4}+\frac{5}{4}-2}{2×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴异面直线AC与BD₁所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．
（向量法）
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），C（0，2，0），B（1，2，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-2，2），
设异面直线AC与BD₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{B{D}_{1}}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}×3}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴异面直线AC与BD₁所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．