Question

22.（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为. 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；

（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.

Answer 1

22. [解]（1）设椭圆的标准方程为，，

    ∴ ，即椭圆的方程为，

    ∵ 点（）在椭圆上，∴ ，

    解得 或（舍），

    由此得，即椭圆的标准方程为.                   

   （2）设直线的方程为，                                

    与椭圆的交点()、()，

则有，

    解得 ，

    ∵ ，∴ ，即 .

则 ，

    ∴ 中点的坐标为.               

    ∴ 线段的中点在过原点的直线 上.          

    （3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心.