Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，
（Ⅰ）若直线l₁过定点A（1，0），且与圆C相切，求l₁的方程；
（Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线l₂：x+y-2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．

Answer 1

分析：（I）由直线l₁过定点A（1，0），故可以设出直线的点斜式方程，然后根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k值即可，但要注意先讨论斜率不存在的情况，以免漏解．
（II）圆D的半径为3，圆心在直线l₂：x+y-2=0上，且与圆C外切，则设圆心D（a，2-a），进而根据两圆外切，则圆心距等于半径和，构造出关于a的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）①若直线l₁的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意．（1分）
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，
即

|3k-4-k|

k2+1

=2（4分）
解之得k=

3

4

．
所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）
（Ⅱ）依题意设D（a，2-a），又已知圆的圆心C（3，4），r=2，
由两圆外切，可知CD=5
∴可知

(a-3)2+(2-a-4)2

=5，（7分）
解得a=3，或a=-2，
∴D（3，-1）或D（-2，4），
∴所求圆的方程为（x-3）²+（y+1）²=9或（x+2）²+（y-4）²=9．（9分）

点评：本题考查的知识点是圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，其中（1）的关键是根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，构造出关于k的方程，（2）的关键是根据两圆外切，则圆心距等于半径和，构造出关于a的方程．