【题目】已知函数.
(1)若,求函数的极值和单调区间;
(2)若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)取得极小值为,的单调递增区间为,单调递减区间为;
(2).
【解析】
(1)求函数的导数,令导数等于零,解方程,再求出函数的导数和驻点,然后列表讨论,求函数的单调区间和极值;
(2)若在区间上存在一点,使得成立,其充要条件是在区间上的最小值小于即可.利用导数研究函数在区间上的最小值,先求出导函数,然后讨论研究函数在上的单调性,将的极值点与区间的端点比较,确定其最小的极值点.
解:的定义域为,
因为,
(1)当时,,令,得,
又的定义域为,
,随的变化情况如下表:
1 | |||
0 | |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以时,取得极小值为.
的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)因为,且.
令,得,
若在区间上存在一点,使得成立,
其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.
当,即时,对成立,
所以,在区间上单调递减,
故在区间上的最小值为,
由,得,即.
当,即时,
若,则对成立,
所以在区间上单调递减,
所以,在区间上的最小值为
,
显然,在区间上的最小值小于不成立.
若,即时,则有
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以在区间上的最小值为.
由,
得,解得,即.
综上,由可知符合题意.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列关于命题的说法错误的是( )
A. 命题“若,则”的逆否命题为“若,则”
B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件
C. 命题“,使得”的否定是“,均有”
D. “若为的极值点,则”的逆命题为真命题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对某种书籍每册的成本费(元)与印刷册数(千册)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
4.83 | 4.22 | 0.3775 | 60.17 | 0.60 | -39.38 | 4.8 |
其中,.
为了预测印刷千册时每册的成本费,建立了两个回归模型:,.
(1)根据散点图,你认为选择哪个模型预测更可靠?(只选出模型即可)
(2)根据所给数据和(1)中的模型选择,求关于的回归方程,并预测印刷千册时每册的成本费.
附:对于一组数据,,…,,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】盒子里装有4张卡片,上面分别写着数字1,1,2,2,每张卡片被取到的概率相等.先从盒子中任取1张卡片,记下上面的数字,然后放回盒子内搅匀,再从盒子中随机任取1张卡片,记下它上面的数字.
(1)求的概率;
(2)设“函数在区间内有且只有一个零点”为事件,求的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】阅读下面一道题目的证明,指出其中的一处错误。题目:平面上有六个点,任何三点都是三边互不相等三角形的顶点,则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边。证明:第一步,对已知的六个点作两两连线,可以得出15条边,记为,,…,.第二步,由于任何三点组成的都是“三边互不相等的三角形”,因此,15条边互不相等不妨设.第三步,由于“任何三点都是三边互不相等三角形的顶点”,因此,任取三条边都可以组成三角形,则、、组成的三角形的最长边,也是、、组成的三角形的最短边,命题得证.这三步中,第______步有错误,理由是______.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点.
(1)求抛物线的焦点的坐标及准线的方程;
(2)若为锐角,作线段的垂直平分线交轴于点.证明为定值,并求此定值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)过曲线的左顶点作的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;
(2)设斜率为的直线交曲线于、两点,若与圆相切,求证:.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com