Question

1．在△ABC中，三边分别为a，b，c，如果a+c=2b，B=30°，△ABC的面积为$\frac{1}{2}$，则b=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知和余弦定理可得3b²=（2+$\sqrt{3}$）ac，再由面积公式可得ac=2，代入解关于b的方程可得．

解答 解：由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
整理可得b²=（a+c）²-（2+$\sqrt{3}$）ac=4b²-（2+$\sqrt{3}$）ac，
∴3b²=（2+$\sqrt{3}$）ac，
又△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{4}$ac=$\frac{1}{2}$，∴ac=2
代入数据3b²=（2+$\sqrt{3}$）ac可得3b²=2（2+$\sqrt{3}$），
解得b=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$
故答案为：$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．