Question

14．已知点A，B分别是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左，右顶点，长轴长为4，离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上除长轴顶点外的任一点，直线AP，PB与直线x=4分别交于点M，N，已知常数λ＞0，求$λ\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：2a=4，a=2，离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=1，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），分别求得AP和BP的直线方程，求得M和N点坐标，$λ\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{{（1+λ）{x_0}^2-8λ{x_0}+16λ-4}}{4}$，设函数$f（{x_0}）=\frac{{（1+λ）{x_0}^2-8λ{x_0}+16λ-4}}{4}$，定义域为（-2，2），由函数的单调性即可求得$λ\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，A（-a，0），B（a，0），且长轴长为2a=4，a=2，离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
c=1，b²=a²-c²=3，
则a²=4，b²=3．
则椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．------（4分）
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀）（x₀≠±2）．
直线AP的方程为$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，令x=4，$y=\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}$，
∴点M坐标为$（4，\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$．
直线BP的方程为$y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x-2）$，令x=4，$y=\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}$，
∴点N坐标为$（4，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$．
∵$\overrightarrow{PM}=（4-{x_0}，\frac{{{y_0}（4-{x_0}）}}{{{x_0}+2}}）$，$\overrightarrow{PN}=（4-{x_0}，\frac{{{y_0}（4-{x_0}）}}{{{x_0}-2}}）$，
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}={（4-{x_0}）^2}+\frac{{{y_0}^2{{（4-x{\;}_0）}^2}}}{{{x_0}^2-4}}=\frac{{{{（4-x{\;}_0）}^2}}}{4}$．
∵$\overrightarrow{PA}=（-2-{x_0}，-{y_0}）$，$\overrightarrow{PB}=（2-{x_0}，-{y_0}）$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={x_0}^2-4+{y_0}^2=\frac{{x{{{\;}_0}^2}-4}}{4}$．
∴$λ\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{{（1+λ）{x_0}^2-8λ{x_0}+16λ-4}}{4}$．
设函数$f（{x_0}）=\frac{{（1+λ）{x_0}^2-8λ{x_0}+16λ-4}}{4}$，定义域为（-2，2），
当$\frac{4λ}{1+λ}≥2$时，即λ≥1时，f（x₀）在（-2，2）上单调递减，f（x₀）的取值范围为（λ，9λ），
当$\frac{4λ}{1+λ}＜2$时，即0＜λ＜1时，f（x₀）在$（-2，\frac{4λ}{1+λ}）$上单调递减，在$（\frac{4λ}{1+λ}，2）$上单调递增，f（x₀）的取值范围为$[\frac{3λ-1}{1+λ}，9λ）$．
综上，当λ≥1时，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围为（λ，9λ），
当0＜λ＜1时，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围为$[\frac{3λ-1}{1+λ}，9λ）$．------（12分）

点评 本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，向量数量积的坐标运算，考查函数与圆锥曲线的综合应用，考查计算能力，属于中档题．