Question

19．设正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁≠a₂．a_m、a_k、a_n是数列{a_n}中满足a_n-a_k=a_k-a_m的任意项．
（1）求证：m+n=2k；
（2）若$\sqrt{{S}_{m}}$，$\sqrt{{S}_{k}}$，$\sqrt{{S}_{n}}$也成等差数列，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：$\frac{1}{{S}_{m}}$+$\frac{1}{{S}_{n}}$≥$\frac{2}{{S}_{k}}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，因为a₁≠a₂，所以d≠0，运用等差数列的通项公式即可得证；
（2）由题意可取m=1，k=2，n=3，即2$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，解得d=2，求得通项和前n项和，检验即可得到所求通项；
（3）运用等差数列的求和公式和基本不等式，即可得证．

解答 解：（1）证明：设等差数列{a_n}的公差为d，
因为a₁≠a₂，所以d≠0，
又a_n-a_k=a_k-a_m，即有（n-k）d=（k-m）d，
所以n-k=k-m，即m+n=2k；　　　　　　　　　　　　　　
（2）由已知取m=1，k=2，n=3，即2$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$　　　　　　
把a₁=1代入解得d=2，
又a_n=2n-1时，S_n=n²，即$\sqrt{{S}_{n}}$=n，
则当m+n=2k时，$\sqrt{{S}_{m}}$，$\sqrt{{S}_{k}}$，$\sqrt{{S}_{n}}$成等差数列，
即有a_n=2n-1；                                          
（3）证明：由条件得S_m，S_k，S_n都大于0，
即有S_m•S_n=[ma₁+$\frac{m（m-1）d}{2}$]•[na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$]=mn[a₁+$\frac{（m-1）d}{2}$][a₁+$\frac{（n-1）d}{2}$]
≤（$\frac{m+n}{2}$）²•[$\frac{{a}_{1}+\frac{（m-1）}{2}d+{a}_{1}+\frac{（n-1）d}{2}}{2}$]²=k²•[a₁+$\frac{（k-1）d}{2}$]²=S_k²，
则$\frac{1}{{S}_{m}}$+$\frac{1}{{S}_{n}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{S}_{m}{S}_{n}}}$≥$\frac{2}{{S}_{k}}$，
即$\frac{1}{{S}_{m}}$+$\frac{1}{{S}_{n}}$≥$\frac{2}{{S}_{k}}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式的证明，注意运用均值不等式，属于中档题．