Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=PA．
（I）求证：PA⊥B₁C；
（II）求PA与平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

解：由题意可以建立以下空间直角坐标系：以点B为坐标原点，分别以BA、BC、BB₁所在的直线为x轴、y轴、z轴．如图所示：设|BA|=2，|BB₁|=z，则B（0，0，0），A（2，0，0），
C（0，2，0），B₁（0，0，z），A₁（2，0，z），C₁（0，2，z），∴线段A₁C₁的中点P（1，1，z），
∴．
∵|PA|=|AB|=2，∴，解得．即B₁（0，0，），A₁（2，0，），．
（Ⅰ）∵=，=，
∴=2-2=0，∴，即AP⊥B₁C．
（Ⅱ）设PA与平面ABB₁A₁所成角为θ，．
取平面ABB₁A₁的法向量，
则sinθ===．
∴．
分析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出、，只要证明即可．
（Ⅱ）取平面ABB₁A₁的法向量，利用公式则sinθ==求出即可．
点评：通过建立空间直角坐标系，利用数量积和平面的法向量是解决此类问题的通法，应熟练掌握．