Question

已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，求在上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由于f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，从而得到f'（x）≥0对x∈（-∞，+∞）恒成立，令t=cosx，将此恒成立问题转化为二次函数恒成立问题，利用二次函数的性质列出不等式组即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，，∴，记h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），先研究h（x）的单调性，利用导数求解f（x）在R上的最值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最值即得．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
∴f'（x）=1+acosx≥0对x∈（-∞，+∞）恒成立．（2分）
令t=cosx，则1+at≥0对t∈[-1，1]恒成立，
∴，解得-1≤a≤1，
∴实数a的取值范围是[-1，1]．（6分）
（Ⅱ）当a＞0时，，∴，（8分）
记h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），则h'（x）=-xsinx＜0对x∈（0，π）恒成立，
∴h（x）在x∈（0，π）上是减函数，∴h（x）＜h（0）=0，即g'（x）＜0，
∴当a＞0时，在（0，π）上是减函数，得g（x）在上为减函数．（11分）
∴当时，g（x）取得最大值；当时，g（x）取得最小值．（13分）
点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．