Question

【题目】如图，△ABC中，，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．

（1）求证：GF∥底面ABC；

（2）求证：AC⊥平面EBC；

（3）求几何体ADEBC的体积V.

Answer 1

【答案】(1) 见解析；(2)见解析 ;(3).

【解析】

（1）连接，根据是正方形，推出是的中点，结合是的中点，即可证明∥底面；（2）易证，根据平面平面，推出平面，从而可得，根据勾股定理可知，即可证明平面；（3）取的中点，连接，根据，推出，，根据平面平面，推出平面，即可求得几何体的体积.

(1)证明：连接AE，如下图所示．

∵ADEB为正方形，

∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，

又G是EC的中点，

∴GF∥AC，又AC平面ABC，GF平面ABC，

∴GF∥平面ABC.

(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，

又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB平面ABED，

∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.

又∵AC＝BC＝AB，

∴CA2＋CB2＝AB2，

∴AC⊥BC.

又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.

(3)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝AB＝，

∴CH⊥AB，且CH＝，又平面ABED⊥平面ABC

∴CH⊥平面ABC，∴V＝×1×＝.