Question

已知数列{a_n}中a₁=1，an+1=

an

2an+1

（n∈N⁺）．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）设b_n=a_n•a_n+1（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为S_n，求满足Sn＞

1005

2012

的最小正整数n．

Answer 1

分析：（1）对an+1=

an

2an+1

（n∈N⁺）两边取导数，然后利用等差数列的定义即可证明．
（2）先由（1）求出

1

an

，进而求出a_n，b_n，然后利用列项相消法求出S_n，再解不等式Sn＞

1005

2012

即可求得最小整数n；

解答：（1）证明：由a₁=1与an+1=

an

2an+1

得a_n≠0，

1

an+1

=

2an+1

an

=2+

1

an

，
所以对?n∈N⁺，

1

an+1

-

1

an

=2为常数，
故{

1

an

}为等差数列；
（2）解：由（1）得

1

an

=

1

a1

+2(n-1)=2n-1，
bn=an•an+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，
由Sn＞

1005

2012

即

n

2n+1

＞

1005

2012

，得n＞

1005

2

=502

1

2

，
所以满足Sn＞

1005

2012

的最小正整数n=503．

点评：本题考查数列递推式、等差数列的判定及数列求和问题，若{a_n}为等差数列，公差为d（d≠0），则{

1

anan+1

}的前n项和用列项相消法，其中

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)．