Question

心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，并趋于稳定．分析结果和实验表明，设提出和讲述概念的时间为x（单位：分），学生的接受能力为f（x）（f（x）值越大，表示接受能力越强），
f(x)=

-0.1x2+2.6x+44，0＜x≤10 60，10＜x≤15 -3x+105，15＜x≤25 30，25＜x≤40

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小；
（3）若一个数学难题，需要56的接受能力以及12分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？

Answer 1

（1）由题意可知：0＜x≤10
f（x）=-0.1（x-13）²+60.9
所以当x=10时，f（x）的最大值是60，…（2分）
又10＜x≤15，f（x）=60…（3分）
所以开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能维持5分钟．…（4分）
（2）由题意可知：f（5）=54.5，f（20）=45，f（35）=30…（5分）
所以开讲后5分钟、20分钟、35分钟的学生的接受能力从大小依次是
开讲后5分钟、20分钟、35分钟的接受能力；…（6分）
（3）由题意可知：
当0＜x≤10，f（x）=-0.1（x-13）²+60.9≥56
解得：6≤x≤10…（7分）
当10＜x≤15时，f（x）=60＞56，满足要求；…（8分）
当15＜x≤25时，-3x+105≥56
解得：15＜x≤16

1

3

…（9分）
因此接受能力56及以上的时间是10

1

3

分钟小于12分钟．
所以老师不能在所需的接受能力和时间状态下讲述完这个难题．…（10分）