Question

已知向量

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，定义函数f(x)=

a

•

b

-1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）在答卷的坐标系中画出函数g(x)=f(x)，x∈[-

π

12

，

11π

12

]的简图，并由图象写出g（x）的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析：直接利用向量的数量积求出函数的表达式，通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数的表达式，
（Ⅰ）直接利用正弦函数的周期求解函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，求出函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）利用五点法画出函数g(x)=f(x)，x∈[-

π

12

，

11π

12

]的简图，并由图象写出g（x）的对称轴和对称中心．

解答：解：因为向量

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，
函数f(x)=

a

•

b

-1=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）．
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π；
（Ⅱ）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
从而可得函数的单调减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（Ⅲ）函数g(x)=f(x)，x∈[-

π

12

，

11π

12

]的图象如图所示，
从图象上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心．
∴对称中心是（

5π

12

，0）…（14分）

点评：本题考查向量的数量积，二倍角公式两角和的正弦函数，三角函数的基本性质，三角函数的公式比较多，平时一定要加强记忆，到运用时方能做到游刃有余，考查计算能力．