Question

已知正弦函数y=sinx具有如下性质：若x₁，x₂，…x_n∈（0，π），则

sinx1+sinx2+…+sinxn

n

≤sin（

x1+x2+…+xn

n

）（其中当 x₁=x₂=…=x_n时等号成立）．根据上述结论可知，在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为

3 3

2

．

Answer 1

分析：利用正弦函数的性质可得：

sinA+sinB+sinC

3

≤sin

A+B+C

3

，变形得 sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

利用特殊三角函数值求得问题答案．

解答：解：∵已知正弦函数y=sinx具有如下性质：若x₁，x₂，…x_n∈（0，π），则

sinx1+sinx2+…+sinxn

n

≤sin（

x1+x2+…+xn

n

），
且A、B、C∈（0，π），
∴

sinA+sinB+sinC

3

≤sin

A+B+C

3

，
即sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

=

3 3

2

，
所以sinA+sinB+sinC的最大值为

3 3

2

．
故答案为：

3 3

2

点评：本题主要考查三角函数的最值问题．考查了考生运用所给条件分析问题的能力和创造性解决问题的能力．