Question

【题目】已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：函f（x）是奇函数；
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（3）若定义在（﹣2，2）上的函数f（x）满足f（﹣m）+f（1﹣m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）

∴令x=y=0 有f （0 ）=0

令y=﹣x 有：0=f（0）=f（x+（﹣x））=f（x）+f（﹣x）

∴函数f（x）是奇函数

（2）证明：设x2＞x1则x1﹣x2＜0

∵当x＜0时，f（x）＞0

∴f（x1﹣x2）＞0

∴f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x1﹣x2）+f（x2）＞f（x2）

∴函数f（x）是R上的减函数

（3）解：∵f（﹣m）+f（1﹣m）＜0，∴f（﹣m）＜f（m﹣1），

且f（﹣m）+f（1﹣m）=f（1﹣2m）

∴ ，解得：﹣ ＜m＜

【解析】（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=﹣x 代入即证；（2）设x2＞x1则x1﹣x2＜0，由已知当x＜0时，f（x）＞0可得f（x1﹣x2）＞0，则f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x1﹣x2）+f（x2）＞f（x2）可证；（3）移项，利用奇偶性进行化简，然后利用单调性建立不等式，注意定义域，从而可求出m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．