Question

例

已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量=(sinx,2)，=(2sin,x)，=(cos2x,1)，=(1,2)，当x∈[0,π]时，求不等式f(·)＞f(·)的解集.

Answer 1

当m＞0时，为{x|＜x＜；当m<0时，为{x|0≤x＜或＜x＜π。

解析:

【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。

解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1－x,y₁)、B(1＋x,y₂)，因为=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y₁=y₂由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m＞0，则x≥1时，f(x)是增函数；若m＜0，则x≥1时，f(x)是减函数。∵·=（sinx，2）·（2sinx,）=2sin²x＋1≥1，·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1∴当m＞0时，f(·)＞f(·)f(2sin²x＋1)＞f(cos2x＋2)2sin²x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈zkπ＋＜x＜kπ＋,k∈z∵0≤x≤π ∴＜x＜当m＜0时，同理可得0≤x＜或＜x≤π综上所述，不等式f(·)＞f(·)的解集是：当m＞0时，为{x|＜x＜；当m<0时，为{x|0≤x＜或＜x＜π。