Question

11．若数列{a_n}中不超过f（m）的项数恰为b_m（m∈N^*），则称数列{b_m}是数列{a_n}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{a_n}生成{b_m}的控制函数．
（1）已知a_n=n²，且f（m）=m²，写出b₁、b₂、b₃；
（2）已知a_n=2n，且f（m）=m，求{b_m}的前m项和S_m；
（3）已知a_n=2ⁿ，且f（m）=Am³（A∈N^*），若数列{b_m}中，b₁，b₂，b₃是公差为d（d≠0）的等差数列，且b₃=10，求d的值及A的值．

Answer 1

分析 （1）利用生成数列，与控制函数的意义即可得出．
（2）对m分类讨论：可得b_m．进而得出前n项和．
（3）依题意：${a_n}={2^n}$，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b₁=t，即数列{a_n}中，不超过A的项恰有t项，所以2^t≤A＜2^t+1，同理：2^t+d≤8A＜2^t+d+1，2^t+2d≤125A＜2^t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论即可得出．

解答 解：（1）m=1，则a₁=1≤1，∴b₁=1；
m=2，则a₁=1＜4，a₂=4≤4，∴b₂=2；
m=3，则a₁=1＜9，a₂=4＜9，a₃=9≤9，∴b₃=3．
（2）m为偶数时，则2n≤m，则${b_m}=\frac{m}{2}$；
m为奇数时，则2n≤m-1，则${b_m}=\frac{m-1}{2}$；
∴${b_m}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{m-1}{2}\;\;\;（m为奇数）}\\{\frac{m}{2}\;\;\;\;\;\;（m为偶数）}\end{array}}\right.$，
m为偶数时，则${S_m}={b_1}+{b_2}+…+{b_m}=\frac{1}{2}（1+2+…+m）-\frac{1}{2}×\frac{m}{2}=\frac{m^2}{4}$；
m为奇数时，则${S_m}={b_1}+{b_2}+…+{b_m}={S_{m+1}}-{b_{m+1}}=\frac{{{{（m+1）}^2}}}{4}-\frac{m+1}{2}=\frac{{{m^2}-1}}{4}$；
∴${S_m}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{m^2}-1}}{4}\;\;\;（m为奇数）}\\{\frac{m^2}{4}\;\;\;\;\;\;（m为偶数）}\end{array}}\right.$．
（3）依题意：${a_n}={2^n}$，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，
设b₁=t，即数列{a_n}中，不超过A的项恰有t项，所以2^t≤A＜2^t+1，
同理：2^t+d≤8A＜2^t+d+1，2^t+2d≤125A＜2^t+2d+1，可得：
$\begin{array}{l}{2^t}≤A＜{2^{t+1}}，\\{2^{t+d-3}}≤A＜{2^{t+d-2}}，\\ \frac{{{2^{t+2d}}}}{125}≤A＜\frac{{{2^{t+2d+1}}}}{125}，\end{array}$
故$max\{{2^t}，{2^{t+d-3}}，\frac{{{2^{t+2d}}}}{125}\}≤A＜min\{{2^{t+1}}，{2^{t+d-2}}，\frac{{{2^{t+2d+1}}}}{125}\}$，
由以下关系：
$\begin{array}{l}{2^{t+d-3}}＜{2^{t+1}}，\\ \frac{{{2^{t+2d}}}}{125}＜{2^{t+d-2}}，\end{array}$
得d＜4，
∵d为正整数，∴d=1，2，3．
当d=1时，$max\{{2^t}，{2^{t+d-3}}，\frac{{{2^{t+2d}}}}{125}\}=max\{{2^t}，\frac{2^t}{4}，\frac{{4×{2^t}}}{125}\}={2^t}$，
$min\{{2^{t+1}}，{2^{t+d-2}}，\frac{{{2^{t+2d+1}}}}{125}\}=min\{{2^{t+1}}，\frac{2^t}{2}，\frac{{8×{2^t}}}{125}\}=\frac{{8×{2^t}}}{125}＜{2^t}$不合题意，舍去；
当d=2时，$max\{{2^t}，{2^{t+d-3}}，\frac{{{2^{t+2d}}}}{125}\}=max\{{2^t}，{2^{t-1}}，\frac{{16×{2^t}}}{125}\}={2^t}$，
$min\{{2^{t+1}}，{2^{t+d-2}}，\frac{{{2^{t+2d+1}}}}{125}\}=min\{{2^{t+1}}，{2^t}，\frac{{32×{2^t}}}{125}\}=\frac{{32×{2^t}}}{125}＜{2^t}$不合题意，舍去；
当d=3时，$max\{{2^t}，{2^{t+d-3}}，\frac{{{2^{t+2d}}}}{125}\}=max\{{2^t}，{2^t}，\frac{{64×{2^t}}}{125}\}={2^t}$，
$min\{{2^{t+1}}，{2^{t+d-2}}，\frac{{{2^{t+2d+1}}}}{125}\}=min\{{2^{t+1}}，{2^{t+1}}，\frac{{128×{2^t}}}{125}\}=\frac{{128×{2^t}}}{125}＞{2^t}$，适合题意．
此时${2^t}≤A＜\frac{128}{125}×{2^t}$，b₁=t，b₂=t+3，b₅=t+6，∴t+3≤b₃≤t+6．
∵b₃=10，∴4≤t≤7，
∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．
∵f（3）=27A，b₃=10，
∴2¹⁰≤27A＜2¹¹，∴$\frac{{{2^{10}}}}{27}≤A＜\frac{{{2^{11}}}}{27}$．
当t=4时，${2^4}≤A＜\frac{{{2^{11}}}}{125}$，∴无解．
当t=5时，${2^5}≤A＜\frac{{{2^{12}}}}{125}$，∴无解．
当t=6时，${2^6}≤A＜\frac{{{2^{13}}}}{125}$，∴$64≤A＜\frac{{{2^{13}}}}{125}$．
当t=7时，${2^7}≤A＜\frac{{{2^{14}}}}{125}$，∴无解，∴${2^6}≤A＜\frac{{{2^{13}}}}{125}$．
∵A∈N*，∴A=64或A=65．
综上：d=3，A=64或65．

点评 本题考查了递推关系、数列的通项公式、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．