Question

5．如图，△ABC的三个顶点均在函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，试判断△ABC的垂心（△ABC三条高线的交点叫△ABC的垂心）H是否也在y=$\frac{1}{x}$的图象上，并说明理由．

Answer 1

分析 分别设出A、B、C、H的坐标，求出相对应的向量，从而判断出结论．

解答 解：∵A、B、C都在y=$\frac{1}{x}$上，∴可设A、B、C的坐标依次是：（a，$\frac{1}{a}$）、（b，$\frac{1}{b}$）、（c，$\frac{1}{c}$）．
令H的坐标为（x，y）．
容易得出：
AB的斜率=-$\frac{1}{ab}$，BC的斜率=-$\frac{1}{bc}$，
AH的斜率=$\frac{\frac{1}{a}-y}{a-x}$，CH的斜率=$\frac{\frac{1}{c}-y}{c-x}$．
∵AH⊥BC，CH⊥AB，
∴$\frac{\frac{1}{a}-y}{a-x}$=bc，$\frac{\frac{1}{c}-y}{c-x}$=ab，
∴$\frac{a（\frac{1}{a}-y）}{a-x}$=$\frac{c（\frac{1}{c}-y）}{c-x}$，
∴（1-ay）（c-x）=（1-cy）（a-x），
∴c-x-acy+axy=a-x-acy+cxy，
∴（a-c）xy=a-c．
显然，a-c≠0，∴xy=1，即：y=$\frac{1}{x}$．
∴点H（x，y）在反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象上．

点评 本题考查了直线的斜率问题，考查转化思想，是一道中档题．