Question

【题目】已知动圆P：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）被y轴所截的弦长为2，被x轴分成两段弧，且弧长之比等于 （其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．
（1）求a，b所满足的关系式；
（2）点P在直线x﹣2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，设圆P被y轴所截的弦为EF，与x轴相较于C，D两点，

过点P作PM⊥EF，垂足为M，连接PE，由垂径定理可得|EM|=1，在Rt△EMP中，r2=1+a2．①

∵被x轴分成两段弧，且弧长之比等于 ，设 为劣弧，∴∠CPD=90°，

过点P作PN⊥x轴，垂足无N，连接PD，PC，则Rt△PND为等腰直角三角形，∴r2=2b2．②

联立①②消去r可得：2b2=1+a2，即为a，b所满足的关系式．

（2）解：点P到直线x﹣2y=0的距离|PA|= =d，

∵PA⊥OA，∴|OA|= = ，

∴S△OAP= = ，

∴事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率P= =

= ，当且仅当d2=r2﹣d2，即 ，解得

∴P的最大值为

【解析】（1）利用垂径定理，勾股定理、等腰直角三角形的性质即可得出；（2）利用点到直线的距离公式、两点间的距离公式先计算出三角形的面积，利用几何概率的计算公式得出概率，进而利用导数求得其最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解几何概型的相关知识，掌握几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．