Question

已知C₁的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=1，M，N分别为C₁在直角坐标系中与x轴，y轴的交点．曲线C₂的参数方程为

x= t - 1 t y=4-(t+ 1 t )

（t为参数，且t＞0），P为M，N的中点．
（1）将C₁，C₂化为普通方程；
（2）求直线OP（O为坐标原点）被曲线C₂所截得弦长．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C₁的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得其普通方程，对于曲线C₂的参数方程，消去参数t即得普通方程；
（2）先在直角坐标系中通过解方程组算出交点的坐标，再利用直角坐标系两点间的距离公式计算即可．

解答：解：（1）C₁的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=1，即

2

2

ρ（cosθ+sinθ）=1，
∴C₁化为普通方程是：C1：x+y-

2

=0；
曲线C₂的参数方程为

x= t - 1 t y=4-(t+ 1 t )

消去参数t 得：C₂普通方程：y=-x²+2，（4分）．
（2）因为M(

2

，0)，N(0，

2

)∴P(

2

2

，

2

2

)所以直线OP：y=x．（6分）
设直线OP：y=x与C₂：y=-x²+2交于A，B两点
直线OP：y=x与C₂：y=-x²+2联立得：x²+x-2=0，（8分）
∴A（1，1），B（-2，-2），所以|AB|=3

2

．（10分）

点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、参数方程化成普通方程、直线与圆锥曲线的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、转化思想．属于基础题．