Question

20．在平面直角坐标系中，曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）写出曲线C₁的参数方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知M是曲线C₁上任意一点，N是曲线C₂上任意一点，求|MN|的最大、最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C₁的普通方程能求出曲线C₁的参数方程，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）圆C₂的圆心C₂（1，0），半径r=1，设M（3cosθ，2sinθ），由|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，能求出|MN|的最大值、最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，
∵曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）由已知得：圆C₂的圆心C₂（1，0），半径r=1，设M（3cosθ，2sinθ），
|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，
|MC₂|²=（3cosθ-1）²+4sin²θ=9cos²θ-6cosθ+1+4sin²θ=5cos²θ-6cosθ+5，
当cosθ=-1时，|MC₂|²_max=16，|MC₂|_max=4，
当当cosθ=$\frac{3}{5}$时，|MC₂|²_min=$\frac{16}{5}$，|MC₂|_min=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{5}-1$≤|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1≤4+1=5，
∴|MN|的最大值为5，最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}-1$．

点评 本题考查曲线的参数方程和直角坐标方程的求法，考查线段的最大、最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．