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已知抛物线C:y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点,M在第一象限,且|MF|=2|NF|,求直线MN的方程;
(3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积”.求出体积
16
3
后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4,体积为
16
3
,求侧棱长”;也可以是“若正四棱锥的体积为
16
3
,求所有侧面面积之和的最小值”.
现有正确命题:过点A(-
p
2
,0)
的直线交抛物线C:y2=2px(p>0)于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过焦点F.
试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题.
(1)由已知及抛物线的定义可得:
p
2
=1,即p=2,所以抛物线C的方程为:y2=4x(4分)
(2)设N(
t2
4
,-t)
(t>0),则M(t2,2t),F(1,0).
因为M、F、N共线,则有kFM=kNF,(6分)
所以
-t
1
4
t2-1
=
2t
t2-1
,解得t=
2
,(8分)
所以k=
2
2
2-1
=2
2
,(10分)
因而,直线MN的方程是y=2
2
(x-1)
.(11分)
(3)“逆向问题”一:
①已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于P、Q两点,
设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点A(-
p
2
,0)
.(13分)
证明:设过F的直线为y=k(x-
p
2
),P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(x1,-y1
y2=4x
y=k(x-
p
2
)
k2x2-(pk2+4)x+
1
4
p2k2=0

所以x1x2=
p2
4
,(14分)
kRA=
-y1
x1+
p
2
=-
k(x1-
p
2
)
x1+
p
2
,(15分)
kQA=
k(x2-
p
2
)
x2+
p
2
=
k(x1x2-
p
2
x1)
x1x2+
p
2
x1
=-
k(x1-
p
2
)
x1+
p
2
=kRA,(16分)
所以直线RQ必过焦点A.(17分)
②过点A(-
p
2
,0)
的直线交抛物线C于P、Q两点,FP与抛物线交于另一点R,则RQ垂直于x轴.
③已知抛物线C:y2=2px(p>0),过点B(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点A(-m,0).
“逆向问题”二:已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),
过F2的直线交椭圆C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点A(
a2
c
,0)

“逆向问题”三:已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),
过F2的直线交双曲线C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点A(
a2
c
,0)
练习册系列答案
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精英家教网如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点. A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M(O为坐标原点).
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;
(Ⅲ)以M为圆心,4为半径作圆M,点P(m,0)是x轴上的一个动点,试讨论直线AP与圆M的位置关系.

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已知抛物线C:y2=2Px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx+b(k≠0)与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求证:a2=
16(1-kb)k2

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(I)若m=1,且直线l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(II)问是否存在定点M,不论直线l绕点M如何转动,使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒为定值.

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已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若
MA
MB
=0,则k=(  )

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