Question

（本题12分）已知椭圆的离心率，短轴长为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线：交椭圆于两点，向量，满足.证明：的面积为定值。 （为坐标原点）

Answer 1

已知椭圆的离心率，短轴长为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线：交椭圆于两点，向量，满足.证明：的面积为定值。 （为坐标原点）

 解：（1）由题意知，2b=2,b=1,,

则。椭圆的标准方程为。

（2）由消去，得，

则  ①

∵向量，满足，

∴

∴

∴  

把①代入②整理得：。

∵点到直线AB的距离为

∴===

所以的面积为定值。