Question

探究函数的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数在区间（0，2）上递减；
（1）函数在区间______上递增．当x=______时，y_最小=______．
（2）证明：函数在区间（0，2）递减．
（3）思考：函数有最值吗？如有，是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用表中y值随x值变化的特点，可以知道函数值是先减后增，只要找到临界点即可得到答案．
（2）法一：根据函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数在区间（0，2）上的符号，即可判断出函数数在区间（0，2）上的单调性，进而得到答案．
法二：任取区间，（0，2）上的任意两个数x₁，x₂，且x₁＜x₂．构造f（x₁）-f（x₂）的差，并根据实数的性质判断其符号，根据函数单调性的定义，即可得到结论．
（3）根据的解析式，我们易求出函数在定义域为奇函数，根据奇函数的性质，结合（1）的结论，易得到结果．
解答：解：（1）由表格中的数据，我们易得：
函数在区间（2，+∞）上递增．
当x=2时，y_最小=4．；
（2）方法一：由f（x）=x+，
∴f'（x）=1-=，
当x∈（0，2）时，∴f'（x）＜0，
∴函数在（0，2）上为减函数．
方法二：设x₁，x₂是区间，（0，2）上的任意两个数，且x₁＜x₂.
=
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（0，2），∴0＜x₁x₂＜4，∴x₁x₂-4＜0，
∴y₁-y₂＞0∴函数在（0，2）上为减函数．
（3）∵f（-x）=-x-=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
又因为当x=2时y_最小=4，
所以
点评：对于给定解析式的函数，判断或证明其在某个区间上的单调性问题，可以结合定义求解，可导函数也可利用导数解之．