Question

【题目】设函数f（x）=ex﹣lnx．
（参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）
（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；
（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜0.1；
（3）求证：f（x）＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ex﹣ ，

∵函数y=ex和y=﹣ 在（0，+∞）均递增，

∴f′（x）在（0，+∞）递增，

而f′（ ）= ﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0，

∴f′（x）在（ ，1）上存在零点，记x0，

且f′（x）在x0左右两侧的函数值异号，

综上，f′（x）有且只有一个零点x0，

即函数f（x）有且只有一个极值点x0

（2）解：∵ln =ln5﹣ln3≈0.51＜ ＞ ，

且f′（x）在[ ， ]上的图象连续，

f′（ ）＜0，f′（ ）= ﹣ ＞0，

∴f′（x）的零点x0∈（ ， ），

即f（x）的极值点x0∈（ ， ），即x0∈（0.5，0.6），

∴x0的近似值x′可以取x′=0.55，

此时的x′满足|x′﹣x0|＜0.6﹣.05=0.1

（3）证明：∵ln =ln7﹣2ln2≈0.56＜ ＞ ，

且f′（x）在[ ， ]上图象连续，

f′（ ）＜0，f′（ ）= ﹣ ＞0，

∴f′（x）的零点x0∈（ ， ），

f（x）的极值点x0∈（ ， ）x0＜ ，

由（1）知：f′（x0）= ﹣ =0，

且f（x）的最小值是f（x0）= ﹣lnx0= ﹣lnx0，

∵函数g（x）= ﹣lnx在（0，+∞）递减，且x0＜ ，

∴g（x0）＞g（ ）=1.75﹣（2ln2﹣ln7）≈2.31＞2.3，

∴f（x）≥f（x0）= ﹣lnx0＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立

【解析】（1）求出f（x）的导数，根据导函数的单调性，求出零点的范围，从而证出极值点的个数；（2）求出函数的导数，求出零点的范围，即极值点的范围，求出满足条件的零点的近似值即可；（3）求出函数的导数，得到函数零点的范围，结合函数的单调性证明即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．