Question

已知命题p：函数f(x)=

1-x

3

，且|f（a）|＜2；命题q：方程x²+（a+2）x+1=0不存在负实数根，求实数a的取值范围，使命题p∨q为真，命题p∧q为假．

Answer 1

分析：命题p∨q为真，命题p∧q为假知两个命题一真一假，故要分为两类求解，p真q假或p假q真，首先要将两个命题中的条件进行化简，再分类讨论．

解答：解：∵|f（a）|＜2，∴|

1-a

3

|＜2，解得-5＜a＜7．（2分）
∵方程x²+（a+2）x+1=0不存在负实数根，分为两类求解，一是方程无解，二是有两个非负实根
令f（x）=x²+（a+2）x+1，则f（0）=1，
∴当无解时，△=（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0；（5分）
当有两个非负根时

△≥0 - a+2 2 ＞0

时，解得a≤-4．（7分）
∴当方程x²+（a+2）x+1=0不存在负实数根时，a的取值范围是：a＜0．（8分）
∵命题p∨q为真，p∧q为假
∴当p真q假时，得-5＜a＜7且a≥0，即0≤a＜7；
当p假q真时，得a≤-5或a≥7，且a＜0，即a≤-5．（13分）
∴当命题p∨q为真，p∧q为假时，a的取值范围是（-∞，-5]∪[0，7）．（14分）

点评：本题考查命题的真假判断与应用，求解本题关键是化两个条件，尤其是命题q：方程x²+（a+2）x+1=0不存在负实数根这个条件的转化，易因忘记方程无根时也满足无负根而导致错误，做题是要考虑完善，转化要注意验证是否等价．