Question

已知动圆M过定点F（0，-），且与直线y=相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，一个焦点为F，点A（1，）在椭圆N上．
（1）求动圆圆心M的轨迹Γ的方程及椭圆N的方程；
（2）若动直线l与轨迹Γ在x=-4处的切线平行，且直线l与椭圆N交于B，C两点，试求当△ABC面积取到最大值时直线l的方程．

Answer 1

解：（1）过圆心M作直线y=的垂线，垂足为H．
由题意得，|MH|=|MF|，由抛物线定义得，点M的轨迹是以F（0，-）为焦点，直线y=为准线的抛物线，
其方程为．
设椭圆方程为，将点A代入方程
整理得a⁴-5a²+4=0，解得a²=4或a²=1（舍去）
故所求的椭圆方程为；
（2）轨迹Γ的方程为，即，则，所以轨迹轨迹Γ在x=-4处的切线斜率为k=，
设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程整理得4x²+2mx+m²-4=0
因为△=8m²-16（m2-4）＞0，解得-2＜m＜2；
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=
所以BC|=×=×
∵点A到直线的距离为d=，所以S_△ABC=×××=≤
当且仅当，即m=±2时等号成立，此时直线l的方程为y=x±2．
分析：（1）由抛物线定义得，点M的轨迹是以F（0，-）为焦点，直线y=为准线的抛物线，由此可得轨迹Γ的方程；设出椭圆方程，利用点A（1，）在椭圆N上，可得椭圆N的方程；
（2）设出切线方程，代入椭圆方程，求得|BC|，点A到直线的距离，表示出面积，利用基本不等式，即可求得△ABC面积取到最大值时直线l的方程．
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．