Question

不等式|x+6|-|x-4|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为

（-∞，-2]∪[5，+∞）

．

Answer 1

分析：令g（x）=|x+6|-|x-4|，利用绝对值的意义可求得g（x）_max，依题意，a²-3a≥g（x）_max即可求得实数a的取值范围．

解答：解：g（x）=|x+6|-|x-4|，
则g（x）≤|x+6-（x-4）|=10，即g（x）_max=10．
∵不等式|x+6|-|x-4|≤a²-3a对任意实数x恒成立，
∴a²-3a≥g（x）_max=10，
解得：a≥5或a≤-2．
∴实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[5，+∞）．
故答案为（-∞，-2]∪[5，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查函数恒成立问题，考查转化思想与方程不等式思想的综合运用，属于中档题．