Question

已知F₁是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点，以线段F₁O为边作正三角形F₁OM，若顶点 M在双曲线上，则双曲线的离心率是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的左焦点坐标，正三角形F₁OM，则可设M（-

c

2

，

3

2

c），代入双曲线方程，化简整理，结合a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F₁为（-c，0），
以线段F₁O为边作正三角形F₁OM，
则可设M（-

c

2

，

3

2

c），
由M在双曲线上，则

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，
由e=

c

a

，b²=c²-a²，则

1

4

e²-

3

4

•

e2

e2-1

=1，
则e⁴-8e²+4=0，解得，e²=4±2

3

，
即有e=

3

+1或

3

-1（舍去）．
故答案为：

3

+1．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查方程的化简整理的运算能力，属于基础题．